Si la famille $(x_1,...,x_n)$ est liée, l’inégalité est vraie.

Si la famille $(x_1,...,x_n)$ est libre, on peut considérer $B_0 =(e_1,...,e_n)$ l’orthonormalisée de Schmidt de la famille $(x_1,...,x_n)$ . Les bases $B_0$ et $B$ sont des bases orthonormées de $E$ et donc

$\begin{align*}\ensuremath \left|\text{det}_B(x_1,...,x_n)\right|&=\left|\text{det}_{B_0}(x_1,...,x_n)\right| =\text{abs}\left(\left|\begin{array}{cccc}(x_1|e_1)&\times&\ldots&\times\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\times\\ 0&\ldots&0&(x_n|e_n)\end{array}\right|\right)\\ &=\prod_{k=1}^{n}|(x_k|e_k)|\leqslant\prod_{k=1}^{n}\|x_k\|\|e_k\|\;(\text{d'après l'inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}})\\ &=\prod_{k=1}^{n}\|x_k\|. \end{align*}$

$\forall(x_1,\ldots,x_n)\in E^n$ , $\left|\text{det}_B(x_1,...,x_n)\right|\leqslant\prod_{k=1}^{n}\|x_k\|$ (inégalité de Hadamard).

Ensuite,

- si la famille $(x_1,...,x_n)$ est liée, on a l’égalité si et seulement si l’un des vecteurs $x_k$ est nul

- si la famille $(x_1,...,x_n)$ est libre, on a l’égalité si et seulement si $\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $|(x_k|e_k)|=\|x_k\|\|e_k\|$ . Les cas d’égalité

de l’inégalité de Cauchy-Schwarz étant connus, on a l’égalité si et seulement si $\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $x_k$ est colinéaire à $e_k$

ou encore si et seulement si la famille $(x_1,...,x_n)$ est orthogonale.

En résumé, l’inégalité de Hadamard est une égalité si et seulement si la famille $(x_1,...,x_n)$ est orthogonale libre ou si l’un des vecteurs est nul.

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