Calculons seulement un quart de l’aire : la partie du quadrant \(x\ge 0, y\ge 0\). Pour ce quadrant les points de l’ellipse ont une abscisse \(x\) qui vérifie \(0 \le x \le a\). Et la relation \(\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1\) donne \(y = b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\).

Nous devons donc calculer l’aire sous la courbe d’équation \(y = b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\), au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équations \((x=0)\) et \((x=a)\) (faites un dessin !).

Cette aire vaut donc : \(\displaystyle \int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} dx\). Nous allons calculer cette intégrale à l’aide du changement de variable \(x=a \cos u\) qui donne \(dx = -a\sin u \, du\). La variable \(x\) variant de \(x=0\) à \(x=a\) alors la nouvelle variable \(u\) varie du \(u=\frac \pi 2\) (pour lequel on a bien \(a\cos \frac\pi 2 = 0\)) à \(u=\frac \pi 2\) (pour lequel on a bien \(a\cos 0 = a\)). Autrement dit la fonction \(u \mapsto a\cos u\) est une bijection de \([\frac\pi2,0]\) vers \([0,a]\).

\[\begin{align*} \int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} dx & = \int_{\frac \pi 2}^0 b \sqrt{1-\cos^2 u} (-a \sin u \, du) \quad \text{ en posant } x=a \cos u \\ & = \int_{\frac \pi 2}^0 b\sin u (-a \sin u \, du) \\ & = ab \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 u \, du \\ & = ab \int_0^{\frac \pi 2} \frac{1-\cos(2u)}{2} \, du \\ &= ab \left[ \frac u2 - \frac{\sin(2u)}{4} \right]_0^{\frac \pi 2} \\ &= \frac{\pi a b}{4} \\ \end{align*}\] L’aire d’un quart d’ellipse est donc \(\frac{\pi a b}{4}\).

Conclusion : l’aire d’une ellipse est \(\pi a b\), où \(a\) et \(b\) sont les longueurs des demi-axes. Si \(a=b=r\) on retrouve que l’aire d’un disque de rayon \(r\) est \(\pi r^2\).

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