Calculons seulement un quart de l’aire : la partie du quadrant $x\ge 0, y\ge 0$ . Pour ce quadrant les points de l’ellipse ont une abscisse $x$ qui vérifie $0 \le x \le a$ . Et la relation $\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1$ donne $y = b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$ .

Nous devons donc calculer l’aire sous la courbe d’équation $y = b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$ , au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équations $(x=0)$ et $(x=a)$ (faites un dessin !).

Cette aire vaut donc : $\displaystyle \int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} dx$ . Nous allons calculer cette intégrale à l’aide du changement de variable $x=a \cos u$ qui donne $dx = -a\sin u \, du$ . La variable $x$ variant de $x=0$ à $x=a$ alors la nouvelle variable $u$ varie du $u=\frac \pi 2$ (pour lequel on a bien $a\cos \frac\pi 2 = 0$ ) à $u=\frac \pi 2$ (pour lequel on a bien $a\cos 0 = a$ ). Autrement dit la fonction $u \mapsto a\cos u$ est une bijection de $[\frac\pi2,0]$ vers $[0,a]$ .

$\begin{align*} \int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} dx & = \int_{\frac \pi 2}^0 b \sqrt{1-\cos^2 u} (-a \sin u \, du) \quad \text{ en posant } x=a \cos u \\ & = \int_{\frac \pi 2}^0 b\sin u (-a \sin u \, du) \\ & = ab \int_0^{\frac \pi 2} \sin^2 u \, du \\ & = ab \int_0^{\frac \pi 2} \frac{1-\cos(2u)}{2} \, du \\ &= ab \left[ \frac u2 - \frac{\sin(2u)}{4} \right]_0^{\frac \pi 2} \\ &= \frac{\pi a b}{4} \\ \end{align*}$ L’aire d’un quart d’ellipse est donc $\frac{\pi a b}{4}$ .

Conclusion : l’aire d’une ellipse est $\pi a b$ , où $a$ et $b$ sont les longueurs des demi-axes. Si $a=b=r$ on retrouve que l’aire d’un disque de rayon $r$ est $\pi r^2$ .

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