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Montrer que $f$ a un nombre fini de zéros dans $D(z_0,r)$.

On suppose que $f$ n’a pas de zéros sur $\gamma ^*$. Calculer $\displaystyle {1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}z^pdz$ pour $p=0,1,\dots$ (utiliser les zéros de $f$ dans $D(z_0,r)$).

On suppose toujours que $f$ n’a pas de zéros sur $\gamma ^*$. On prend $p=0$. Montrer que l’intégrale précédente est égale au nombre total de zéros de $f$ dans $D(z_0,r)$. Montrer que ce nombre est aussi l’indice du point $0$ par rapport à la courbe fermée $\Gamma =f(\gamma )$.

Soit $w_0=f(z_0)$ et $n$ la multiplicité du zéro $z_0$ pour la fonction $f(z)-w_0$. Montrer que l’on peut choisir $\varepsilon >0$ tel que $f'(z)$ ne s’annule pas pour $0<\vert z-z_0\vert <\varepsilon$, et qu’il existe un $\delta >0$ tel que pour tout $a$ avec $\vert a-w_0\vert <\delta$, l’équation $f(z)=a$ a exactement $n$ racines dans le disque $\vert z-z_0\vert <\varepsilon$.

En déduire le principe du maximum : si $f$ est holomorphe et non constante dans $\Omega$, alors $\vert f\vert$ n’a pas de maximum dans $\Omega$.