Un vecteur directeur est $\overrightarrow{AB}$ dont les coordonnées sont $(x_B-x_A,y_B-y_A)=(-3,1)$ . Pour n’importe quel vecteur directeur $\vec v = (x_v,y_v)$ la pente est le réel $p=\frac{y_v}{x_v}$ . La pente est indépendante du choix du vecteur directeur. On trouve ici $p=-\frac13$ . Une équation paramétrique de la droite de vecteur directeur $\vec v$ passant par $A=(x_A,y_A)$ est donnée par $\left\{ \begin{array}{l} x = x_v t + x_A \\ y = y_v t+y_A \\ \end{array} \right..$ Donc ici pour le vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ on trouve l’équation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x = -3t + 2 \\ y = t+3 \\ \end{array} \right.$

Il y a plusieurs façons d’obtenir une équation cartésienne $ax+by+c=0$ .

Première méthode. On sait que $A=(x_A,y_A)$ appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l’équation $ax_A+by_A+c=0$ , idem avec $B$ . On en déduit le système $\left\{ \begin{array}{l} 2a+3b+c = 0 \\ -a+4b+c=0 \\ \end{array} \right..$ Les solutions s’obtiennent à une constante multiplicative près, on peut fixer $a=1$ et on trouve alors $b=3$ et $c=-11$ . L’équation est donc $x+3y-11=0$ .

exo7 1956