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$E=C([0,1],\R)$ . Soit $g\in E$ . Pour tout $f\in E$ on pose $N(f)=\sup\limits_{x\in [0,1]}\{|f(x)g(x)|\}$ .

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $N$ soit une norme sur $E$ .

Si pour tout $x\in [0,1]$ , $g(x)\ne 0$ , montrer qu’alors $N$ et $\|\ \|_{\infty}$ sont des normes sur $E$ équivalentes.

Démontrer la réciproque de la proposition précédente.