\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout \(f\in E\) on pose \(N(f)=\sup\limits_{x\in [0,1]}\{|f(x)g(x)|\}\).
1
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(g\) pour que \(N\) soit une norme sur \(E\).
2
Si pour tout \(x\in [0,1]\), \(g(x)\ne 0\), montrer qu’alors \(N\) et \(\|\ \|_{\infty}\) sont des normes sur \(E\) équivalentes.
3
Démontrer la réciproque de la proposition précédente.