1
Rappeler la définition de l’indice \(Ind_\Gamma (a)\) d’un point \(a\) de \(\Cc\) par rapport à un chemin fermé compact orienté \(\Gamma\) de \(\Cc\).
2
On suppose que \(\Gamma\) est paramétré sous la forme \(\gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}\) où \(r\) et \(\theta\) sont deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^\infty\) par morceaux sur \([0,1]\), \(r\) à valeurs strictement positives et \(r(0)=r(1)\), \(\theta(0)\equiv\theta(1)\mod{2\pi}\) montrer que \[Ind_\Gamma (a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^1 \theta'(t) dt\] et correspond donc au nombre de tours, comptés positivement dans le sens direct, que fait \(\Gamma\) autour de \(a\).