Soit \(E\) un espace à \(n\) dimensions et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
Montrer que la condition \(f^2=0\) est équivalente à \(\mbox{Im} f \subset\ker f\). Quelle condition vérifie alors le rang de \(f\) ? On suppose dans le reste de l’exercice que \(f^2=0\).
[qu2]Soit \(E_1\) un supplémentaire de \(\ker f\) dans \(E\) et soit \((e_1,e_2,\ldots,e_r)\) une base de \(E_1\). Montrer que la famille des vecteurs \((e_1,e_2,\ldots,e_r,f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_r))\) est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs de \(\ker f\) de façon à obtenir une base de \(E\). Quelle est la matrice de \(f\) dans cette base ?
Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on \(\mbox{Im} f=\ker f\) ?
Exemple : Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(M(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\cr 2 & 0 & 2\cr -1 & 0 & -1\end{pmatrix}\). Montrer que \(f^2=0\). Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de \(f\) a la forme indiquée dans la question [qu2]).