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Montrer que la condition $f^2=0$ est équivalente à $\mbox{Im} f \subset\ker f$. Quelle condition vérifie alors le rang de $f$ ? On suppose dans le reste de l’exercice que $f^2=0$.

Soit $E_1$ un supplémentaire de $\ker f$ dans $E$ et soit $(e_1,e_2,\ldots,e_r)$ une base de $E_1$. Montrer que la famille des vecteurs $(e_1,e_2,\ldots,e_r,f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_r))$ est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs de $\ker f$ de façon à obtenir une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base ?

Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on $\mbox{Im} f=\ker f$ ?

Exemple : Soit $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $M(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\cr 2 & 0 & 2\cr -1 & 0 & -1\end{pmatrix}$. Montrer que $f^2=0$. Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de $f$ a la forme indiquée dans la question [qu2]).