Pour \(n \in \mathbb{N}\), on considère le polynôme \(P_n(X) = X^n + X + 1\). On cherche à déterminer le reste de la division euclidienne de \(P_n(X)\) par \(D(X) = (X-1)^2\).
1
Justifier que le reste \(R(X)\) de cette division euclidienne est de la forme \(R(X) = \alpha X + \beta\) où \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\).
2
Écrire la division euclidienne de \(P_n(X)\) par \(D(X)\), puis en déduire une première relation entre \(\alpha\) et \(\beta\) en évaluant cette égalité en \(X = 1\).
3
Dériver l’égalité obtenue à la question précédente, puis en déduire une deuxième relation en évaluant la dérivée en \(X = 1\).
4
Conclure en donnant l’expression du reste \(R_n(X)\) en fonction de \(n\).