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Résoudre l’équation différentielle homogène associée à $(E)$.

Trouver une solution particulière de $(E)$ (expliquer votre démarche), puis donner l’ensemble de toutes les solutions de $(E)$.

Déterminer l’unique solution $h$ de $(E)$ vérifiant $h(0)=1$ et $h(1)=0$.

Soit $f : ]0,\infty [ \longrightarrow \R$ une fonction deux fois dérivable sur $]0,\infty [$ et qui vérifie : $$t^2f^{\prime \prime}(t) +3tf^\prime (t) + 4f(t) = t\log{t}.$$

On pose $g(x)=f(e^x)$, vérifier que $g$ est solution de $(E)$.

En déduire une expression de $f$.