On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
1
Résoudre l’équation différentielle homogène associée à \((E)\).
2
Trouver une solution particulière de \((E)\) (expliquer votre démarche), puis donner l’ensemble de toutes les solutions de \((E)\).
3
Déterminer l’unique solution \(h\) de \((E)\) vérifiant \(h(0)=1\) et \(h(1)=0\).
4
Soit \(f : ]0,\infty [ \longrightarrow \R\) une fonction deux fois dérivable sur \(]0,\infty [\) et qui vérifie : \[t^2f^{\prime \prime}(t) +3tf^\prime (t) + 4f(t) = t\log{t}.\]
5
On pose \(g(x)=f(e^x)\), vérifier que \(g\) est solution de \((E)\).
6
En déduire une expression de \(f\).