exo7 1946

Soit $a>0$ fixé. Pour $n$ entier positif ou nul on définit $P_n(a)$ par $P_0(a)=1$, $P_1(a)=a$, $P_2(a)=a(a+1)$ et, plus généralement $P_{n+1}(a)=(n+a)P_n(a)$. Montrer que $$L(a)=\lim _{n\infty}\frac{P_n(a)}{n!n^{a-1}}$$ existe et est un nombre strictement positif. Méthode: considérer la série de terme général pour $n>0$: $u_n= \log(n+a)-a\log(n+1)+(a-1)\log n,$ comparer sa somme partielle d’ordre $n-1$ avec $\log \frac{P_n(a)}{n!n^{a-1}},$ et, ... l’aide d’un développement limité en $1/n$ d’ordre convenable, montrer que, $\sum _{n=1}^{\infty}u_n$ converge.