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Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit \(P_n(a)\) par \(P_0(a)=1\), \(P_1(a)=a\), \(P_2(a)=a(a+1)\) et, plus généralement \(P_{n+1}(a)=(n+a)P_n(a)\). Montrer que \[L(a)=\lim _{n\infty}\frac{P_n(a)}{n!n^{a-1}}\] existe et est un nombre strictement positif. Méthode: considérer la série de terme général pour \(n>0\): \(u_n= \log(n+a)-a\log(n+1)+(a-1)\log n,\) comparer sa somme partielle d’ordre \(n-1\) avec \(\log \frac{P_n(a)}{n!n^{a-1}},\) et, ... l’aide d’un développement limité en \(1/n\) d’ordre convenable, montrer que, \(\sum _{n=1}^{\infty}u_n\) converge.