L3 Analyse complexe Autre 2 questions

exo7 7610

On rappelle la formule de Gutzmer : soit ff la somme de la série entière ∑n≥0anzn\sum_{n\geq 0} a_n z^n de rayon de convergence RR. Alors, pour tout r<Rr<R, ∑n≥0∣an∣2r2n=12π∫02π∣f(reiθ)∣2dθ.\sum_{n\geq 0} |a_n|^2r^{2n}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2d\theta.

1

Démontrer à l’aide de la formule de Gutzmer que toute application holomorphe f:C→Cf:\Cc\to\Cc bornée est constante..

2

Soit f:C→Cf:\Cc\to\Cc application holomorphe. On suppose que ∀r∈]0,+∞[,M(r):=sup⁡∣z∣<r∣f(z)∣≤r.\forall r\in ]0,+\infty[, M(r):=\sup_{|z|<r} |f(z)|\leq r. Montrer que ff est une application affine.

Exercice NYVg

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