On rappelle la formule de Gutzmer : soit \(f\) la somme de la série entière \(\sum_{n\geq 0} a_n z^n\) de rayon de convergence \(R\). Alors, pour tout \(r<R\), \[\sum_{n\geq 0} |a_n|^2r^{2n}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2d\theta.\]
1
Démontrer à l’aide de la formule de Gutzmer que toute application holomorphe \(f:\Cc\to\Cc\) bornée est constante..
2
Soit \(f:\Cc\to\Cc\) application holomorphe. On suppose que \[\forall r\in ]0,+\infty[, M(r):=\sup_{|z|<r} |f(z)|\leq r.\] Montrer que \(f\) est une application affine.