L1 Algèbre Logique, ensemble, raisonnement 4 questions

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(Clôture transitive. Cet exercice utilise la notion de produit de relations) Soit R\mathcal R une relation sur EE. Pour n∈Nn\in \N et R\mathcal R est une relation sur EE, on définit alors par récurrence la relation Rn\mathcal R^n (en définissant R0\mathcal R^0 comme l’égalité, puis Rn+1=RRn\mathcal R^{n+1} = \mathcal R \mathcal R^n).

Montrer que toutes les relations suivantes sont égales:

1

⋁n≥0Rn\bigvee_{n\geq 0} \mathcal R^n;

2

la relation dont le graphe est ⋃n≥0ΓRn\bigcup_{n\geq 0} \Gamma_{\mathcal R^{n}};

3

la relation dont le graphe est l’intersection de tous les graphes de relations transitives qui contiennent ΓR\Gamma_{\mathcal R}.

4

la plus fine relation parmi toutes les relations transitives moins fines que R\mathcal R.

Exercice NvTd

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