La fonction $f~:~t\mapsto\frac{\ln t}{t-1}$ est continue et positive sur $]0,1[$ , négligeable devant $\frac{1}{\sqrt{t}}$ quand $t$ tend vers $0$ et prolongeable par continuité en $1$ . La fonction $f$ est donc intégrable sur $]0;1[$ .

1ère solution. (à la main, sans utilisation d’un théorème d’intégration terme à terme) Pour $t\in]0,1[$ et $n\in\Nn$ ,

$\frac{\ln t}{t-1}=\frac{-\ln t}{1-t}=-\sum_{k=0}^{n}t^k\ln t+\frac{t^{n+1}\ln t}{t-1}$

Pour $t\in]0,1]$ et $n\in\Nn$ , posons $f_n(t)=-t^n\ln t$ .

Soit $n\in\Nn$ . Chaque fonction $f_k$ , $0\leqslant k\leqslant n$ , est continue sur $]0,1]$ et négligeable en $0$ devant $\frac{1}{\sqrt{t}}$ . Donc chaque fonction $f_k$ est intégrable sur $]0,1]$ et donc sur $]0,1[$ . Mais alors, il en est de même de la fonction $t\mapsto\frac{t^{n+1}\ln t}{1-t}=\frac{\ln t}{t-1}+\sum_{k=0}^{n}t^k\ln t$ et

$\int_{0}^{1}\frac{\ln t}{t-1}\;dt=-\sum_{k=0}^{n}\int_{0}^{1}t^k\ln t\;dt+\int_{0}^{1}\frac{t^{n+1}\ln t}{t-1}\;dt$

La fonction $g~:~t\mapsto\frac{t\ln t}{t-1}$ est continue sur $]0,1[$ et prolongeable par continuité en $0$ et en $1$ . Cette fonction est en particulier bornée sur $]0,1[$ . Soit $M$ un majorant de la fonction $|g|$ sur $]0,1[$ . Pour $n\in\Nn$ ,

$\left|\int_{0}^{1}\frac{t^{n+1}\ln t}{t-1}\;dt\right|\leqslant\int_{0}^{1}t^n|g(t)|\;dt\leqslant M\int_{0}^{1}t^n\;dt=\frac{M}{n+1}$ .

Par suite, $\lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}\frac{t^{n+1}\ln t}{t-1}\;dt=0$ . On en déduit que la série de terme général $-\int_{0}^{1}t^k\ln t\;dt$ converge et que

$\int_{0}^{1}\frac{\ln t}{t-1}\;dt=\sum_{k=0}^{+\infty}\int_{0}^{1}(-t^k\ln t)\;dt$ .

Soit $\varepsilon\in]0,1[$ . Pour $k\in\Nn$ , une intégration par parties fournit

$\int_{\varepsilon}^{1}(-t^k\ln t)\;dt=\left[-\frac{t^{k+1}\ln t}{k+1}\right]_\varepsilon^{1}+\frac{1}{k+1}\int_{\varepsilon}^{1}t^k\;dt=\frac{\varepsilon^{k+1}\ln \varepsilon}{k+1}+\frac{1-\varepsilon^{k+1}}{(k+1)^2}$ .

Quand $\varepsilon$ tend vers $0$ , on obtient $\int_{\varepsilon}^{1}(-t^k\ln t)\;dt=\frac{1}{(k+1)^2}$ . Finalement,

$\int_{0}^{1}\frac{\ln t}{t-1}\;dt=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

$\int_{0}^{1}\frac{\ln t}{t-1}\;dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

2ème solution. (utilisation d’un théorème d’intégration terme à terme) Chaque fonction $f_n$ est continue et intégrable sur $]0,1[$ et la série de fonctions de terme général $f_n$ converge simplement vers la fonction $f$ sur $]0,1[$ et de plus, la fonction $f$ est continue sur $]0,1[$ . Enfin

$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{1}|f_n(t)|\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^2}<+\infty$ .

D’après un théorème d’intégration terme à terme, $\int_{0}^{1}f(t)\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{1}f_n(t)\;dt=\frac{\pi^2}{6}$ .

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