Une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ est uniformément continue sur $[a, b]$ . En particulier, pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $n>0$ tel que $\begin{equation} |x - y| < \left(\frac{b-a}{n}\right) \Rightarrow |f(x) - f(y)|< \varepsilon. \end{equation}$ Soit $\sigma=\{a_{0}=a < \dots < a_{n} = b\}$ la subdivision régulière de $[a,b]$ , de pas $\left(\frac{b-a}{n}\right)$ . On a : $\begin{equation} \sup_{]a_{k-1}, a_{k}[} f - \inf_{]a_{k-1}, a_{k}[} f \leq 2\varepsilon. \end{equation}$ Il vient alors : $\begin{equation} \overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} \leq \left(\frac{b-a}{n}\right)\sum_{k=1}^{n} 2 \varepsilon = (b-a) 2\varepsilon, \end{equation}$ ce qui permet de conclure grâce au théorème de l’introduction que $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$ .

exo7 5919