Une fonction \(f\) continue sur \([a, b]\) est uniformément continue sur \([a, b]\). En particulier, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(n>0\) tel que \[\begin{equation} |x - y| < \left(\frac{b-a}{n}\right) \Rightarrow |f(x) - f(y)|< \varepsilon. \end{equation}\] Soit \(\sigma=\{a_{0}=a < \dots < a_{n} = b\}\) la subdivision régulière de \([a,b]\), de pas \(\left(\frac{b-a}{n}\right)\). On a : \[\begin{equation} \sup_{]a_{k-1}, a_{k}[} f - \inf_{]a_{k-1}, a_{k}[} f \leq 2\varepsilon. \end{equation}\] Il vient alors : \[\begin{equation} \overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} \leq \left(\frac{b-a}{n}\right)\sum_{k=1}^{n} 2 \varepsilon = (b-a) 2\varepsilon, \end{equation}\] ce qui permet de conclure grâce au théorème de l’introduction que \(f\) est Riemann-intégrable sur \([a,b]\).

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