Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On fixe \(n\in\N^*\) et on note : \(a_k = a + k\frac{b-a}n\), \(a_{k+{\frac 1 2}} = \frac{ a_k + a_{k+1} }2\).
Soit \(I_n = \frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1} f(a_{k+{\frac 1 2}})\).
1
Donner une interprétation géométrique de \(I_n\).
2
Montrer que \(\left| \int_{t=a}^b f(t)\,d t - I_n \right| \le \frac{M_2(b-a)^3}{24n^2}\) où \(M_2 = \sup\limits_{[a,b]}|f''|\).