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Soit $f$ une fonction continue dans $[0,\pi]$. Montrer, en utilisant un changement de variables, que l’on a $$\int_0^\pi x f(\sin x) ~dx = {{\pi \over 2}} \int_0^\pi f(\sin x) ~dx.$$ En déduire la valeur de $$\int_0^\pi {x \sin x \over {1+\cos^2 x}} ~dx.$$