Si la similitude est directe, son angle est $\pi/2$ , donc la similitude s’écrit $z\mapsto 2i z+ b$ en coordonnée complexe. Comme $s(2)=i$ , on en déduit que $4i+b=i$ c’est-à-dire $b=-3i$ .

Le point fixe a alors pour affixe $\dfrac{b}{1-2i} = \dfrac{-3i}{1-2i} = \dfrac{6-3i}{5}$ .

La similitude indirecte est obtenue en composant la similitude directe précédente par la symétrie d’axe passant par $i$ et $3i$ , c’est-à-dire l’axe des ordonnées. Cette symétrie s’écrit $z\mapsto -\bar z$ . On en déduit que la similitude indirecte envoyant les points d’affixes $2$ et $3$ sur ceux d’affixes $i$ et $3i$ s’écrit $z\mapsto -\overline{(2iz-3i)} = 2i\bar z-3i.$ (Alternativement, et sans utiliser la question précédente, on sait d’après l’énoncé que la similitude indirecte doit s’écrire $z\mapsto 2i \overline z + b$ , et comme $s(2)=i$ , on en déduit bien $i = 4i+b$ d’où $b=-3i$ .)

Cette similitude possède un unique point fixe d’affixe $\omega$ , solution de l’équation $\omega = 2i\bar\omega -3i$ .

On remarque que $\omega$ est donc aussi l’unique point fixe de $s\circ s$ , ce qui donne l’équation $\omega = 2i\overline{(2i\bar \omega-3i)} -3i = 4\omega-6-3i$ d’où $\omega = 2+i$ .

Finalement, comme on sait que l’axe est dirigé par le vecteur d’affixe $1+i$ et que cet axe passe par le centre de la similitude, cet axe est la droite d’équation $y=x-1$

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