exo7 4362

On considère $f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}$ .

Domaine de définition, monotonie, convexité de $f$ (sans dériver $f$ ).

Continuité, dérivabilité, calcul de $f^{(k)}(x)$ .

Donner un équivalent de $f(x)$ en $0$ et en $1$ .

Calculer $f(1/n)$ pour $n\in \N$ , $n\ge 2$ .