On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
1
Domaine de définition, monotonie, convexité de \(f\) (sans dériver \(f\)).
2
Continuité, dérivabilité, calcul de \(f^{(k)}(x)\).
3
Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0\) et en \(1\).
4
Calculer \(f(1/n)\) pour \(n\in \N\), \(n\ge 2\).