Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable.
1
On fixe \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) et pour tout \(t \in \mathbb{R}\) on pose \(g(t) = f(x+t,y+t)\). Calculer \(g'(t)\) quelque soit \(t \in \mathbb{R}\) en l’exprimant en fonction de \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x+t,y+t)\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x+t,y+t)\).
2
On suppose que pour tout \(t \in \mathbb{R}\) et pour tout \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), \[f(x+t,y+t) = f(x,y)\]En déduire que \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0\).