Règle des chaînes

On fixe $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$ on pose $g(t) = f(x+t,y+t)$. Calculer $g'(t)$ quelque soit $t \in \mathbb{R}$ en l’exprimant en fonction de $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x+t,y+t)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x+t,y+t)$.

On suppose que pour tout $t \in \mathbb{R}$ et pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $$f(x+t,y+t) = f(x,y)$$En déduire que $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0$.