L1 Algèbre Logique, ensemble, raisonnement Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 2 questions

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Soient R\mathcal R et S\mathcal S des relations binaires sur EE. On dit que R\mathcal R est plus fine que S\mathcal S, ou encore que c’est est un raffinement, si ∀x,y∈E,xRy  ⟹  xSy\forall x, y\in E, x\mathcal R y \implies x\mathcal S y. De façon équivalente, R\mathcal R est plus fine que S\mathcal S si on a l’inclusion de graphes ΓR⊆ΓS\Gamma_{\mathcal R} \subseteq \Gamma_{\mathcal S}.

1

Montrer que être plus fine que est une relation d’ordre sur l’ensemble des relations binaires sur EE.

2

Soient R\mathcal R et S\mathcal S des relations binaires sur EE. Montrer qu’il existe une relation binaire sur EE qui raffine à la fois R\mathcal R et S\mathcal S, et qu’il existe aussi une relation binaire sur EE simultanément moins fine que R\mathcal R et S\mathcal S.

Exercice PCVI

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