Soient \(\mathcal R\) et \(\mathcal S\) des relations binaires sur \(E\). On dit que \(\mathcal R\) est plus fine que \(\mathcal S\), ou encore que c’est est un raffinement, si \(\forall x, y\in E, x\mathcal R y \implies x\mathcal S y\). De façon équivalente, \(\mathcal R\) est plus fine que \(\mathcal S\) si on a l’inclusion de graphes \(\Gamma_{\mathcal R} \subseteq \Gamma_{\mathcal S}\).
Montrer que être plus fine que est une relation d’ordre sur l’ensemble des relations binaires sur \(E\).
Soient \(\mathcal R\) et \(\mathcal S\) des relations binaires sur \(E\). Montrer qu’il existe une relation binaire sur \(E\) qui raffine à la fois \(\mathcal R\) et \(\mathcal S\), et qu’il existe aussi une relation binaire sur \(E\) simultanément moins fine que \(\mathcal R\) et \(\mathcal S\).