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Soient $(x_1,x_2)$, $(y_1,y_2)$ deux vecteurs de $\R^2$, on suppose que $$A\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}$$ montrer qu’alors $$y_1+y_2=x_1+x_2.$$

Soit le vecteur $\varepsilon=(1,-1)$, montrer que c’est un vecteur propre de $A$. On notera $\lambda$ sa valeur propre.

Montrer que si $v$ est un vecteur propre de $A$ non colinéaire à $\varepsilon$, alors la valeur propre associée à $v$ est égale à $1$.

Soit $e_1=(1,0)$. Montrer que la matrice, dans la base $(e_1,\varepsilon)$, de l’endomorphisme associé à $A$ est de la forme $$\begin{pmatrix}1&0 \\ \alpha&\lambda \end{pmatrix},$$ où $\alpha\in\R$.

En déduire que si $\lambda\neq 1$, alors $A$ est diagonalisable sur $\R$.