Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. On suppose que dans chaque colonne de \(A\) la somme des coefficients est égale à \(1\).
Soient \((x_1,x_2)\), \((y_1,y_2)\) deux vecteurs de \(\R^2\), on suppose que \[A\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\] montrer qu’alors \[y_1+y_2=x_1+x_2.\]
Soit le vecteur \(\varepsilon=(1,-1)\), montrer que c’est un vecteur propre de \(A\). On notera \(\lambda\) sa valeur propre.
Montrer que si \(v\) est un vecteur propre de \(A\) non colinéaire à \(\varepsilon\), alors la valeur propre associée à \(v\) est égale à \(1\).
Soit \(e_1=(1,0)\). Montrer que la matrice, dans la base \((e_1,\varepsilon)\), de l’endomorphisme associé à \(A\) est de la forme \[\begin{pmatrix}1&0 \\ \alpha&\lambda \end{pmatrix},\] où \(\alpha\in\R\).
En déduire que si \(\lambda\neq 1\), alors \(A\) est diagonalisable sur \(\R\).