L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 3998

Soit f:R→Rf : \R \to \R dérivable telle que : ∀ a,b∈R tq a<b, ∃! c∈]a,b[ tq f(b)−f(a)=(b−a)f′(c)\forall\ a,b \in \R \text{ tq } a < b,\ \exists!\ c \in ]a,b[ \text{ tq } f(b) - f(a) = (b-a) f'(c).

1

Montrer que pour tout a∈Ra \in \R, la fonction b⟼f(b)−f(a)b−ab \longmapsto \frac {f(b)-f(a)}{b-a} est monotone sur ]−∞,a[]-\infty,a[ et sur ]a,+∞[]a,+\infty[.

2

En déduire que ff est strictement convexe ou strictement concave.

Exercice PcZV

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