Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : \(y'' + p y' + q y = 0\). On note \(S\) l’ensemble des solutions de \((E)\) et \(D\) l’application de \(S\) dans \(S\) définie par \(D(f) = f'\).
1
\(D\) peut elle être une homothétie ?
2
Déterminer les valeurs de \(p\) et \(q\) pour lequelles \(D\) n’est pas un isomorphisme de \(S\).
3
Vérifiez que \(D\circ D + p D + q\mathrm{id}_S=0\) et montrer qu’il existe des nombres complexes \(r_1\) et \(r_2\) tels que : \((D - r_1 \mathrm{id}_S) \circ (D - r_2 \mathrm{id}_S) = 0\).
4
Les applications \(D - r_1 \mathrm{id}_S\), \(D - r_2 \mathrm{id}_S\) peuvent-elles être inversibles ?