L2 Analyse Equation différentielle Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 4066

Soit $(p,q)\in\R^2$ et $(E)$ l’équation : $y'' + p y' + q y = 0$ . On note $S$ l’ensemble des solutions de $(E)$ et $D$ l’application de $S$ dans $S$ définie par $D(f) = f'$ .

$D$ peut elle être une homothétie ?

Déterminer les valeurs de $p$ et $q$ pour lequelles $D$ n’est pas un isomorphisme de $S$ .

Vérifiez que $D\circ D + p D + q\mathrm{id}_S=0$ et montrer qu’il existe des nombres complexes $r_1$ et $r_2$ tels que : $(D - r_1 \mathrm{id}_S) \circ (D - r_2 \mathrm{id}_S) = 0$ .

Les applications $D - r_1 \mathrm{id}_S$ , $D - r_2 \mathrm{id}_S$ peuvent-elles être inversibles ?