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Soient $p$ un entier naturel et $a$ un réel. Donner le développement de $(\cos a+i\sin a)^{2p+1}$ puis en choisissant astucieusement $a$, déterminer $\sum_{k=1}^{p}\cotan^2\frac{k\pi}{2p+1}$. En déduire alors $\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{2p+1}}$.

Pour $n$ entier naturel non nul, on pose $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\Nn^*}$ converge (pour majorer $u_n$, on remarquera que $\frac{1}{k^2}\leq\frac{1}{k(k-1)}$).

Montrer que pour tout réel $x$ de $]0,\frac{\pi}{2}[$, on a $\cotan x<\frac{1}{x}<\frac{1}{\sin x}$.

En déduire un encadrement de $u_n$ puis la limite de $(u_n)$.