1
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de \((\cos a+i\sin a)^{2p+1}\) puis en choisissant astucieusement \(a\), déterminer \(\sum_{k=1}^{p}\cotan^2\frac{k\pi}{2p+1}\). En déduire alors \(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{2p+1}}\).
2
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\). Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\Nn^*}\) converge (pour majorer \(u_n\), on remarquera que \(\frac{1}{k^2}\leq\frac{1}{k(k-1)}\)).
3
Montrer que pour tout réel \(x\) de \(]0,\frac{\pi}{2}[\), on a \(\cotan x<\frac{1}{x}<\frac{1}{\sin x}\).
4
En déduire un encadrement de \(u_n\) puis la limite de \((u_n)\).