Soit \(f \colon \R^2 \to \R\), \[(x,y) \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^2 y}{x^4 - 2x^2y + 3y^2} & \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ si } (x,y) = (0,0) \end{array} \right.\]
1
Montrer que la restriction de \(f\) à toute droite passant par l’origine est continue en \((0,0)\). Autrement dit, montrer que les trois limites suivantes existent et sont égales à \(0\) :
\(\lim\limits_{x \to 0} f(x,0)\),
\(\lim\limits_{x \to 0} f(x,ax)\), pour \(a \in \R^*\),
\(\lim\limits_{y \to 0} f(0,y)\)
2
Calculer la limite en \((0,0)\) de la restriction de \(f\) à la courbe d’équation \(y=x^2\).
3
La fonction \(f\) est-elle continue en \((0,0)\) ? Justifier.