Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$

Montrer que la restriction de $f$ à toute droite passant par l’origine est continue en $(0,0)$. Autrement dit, montrer que les trois limites suivantes existent et sont égales à $0$ :

1. $\lim\limits_{x \to 0} f(x,0)$,

2. $\lim\limits_{x \to 0} f(x,ax)$, pour $a \in \R^*$,

3. $\lim\limits_{y \to 0} f(0,y)$

Calculer la limite en $(0,0)$ de la restriction de $f$ à la courbe d’équation $y=x^2$.

La fonction $f$ est-elle continue en $(0,0)$ ? Justifier.