Pour \(x\geq1\), \(x+2\sqrt{x-1}=x-1+2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}+1)^2\geq0\). De même, \(x-2\sqrt{x-1}=(\sqrt{x-1}-1)^2\geq0\). Donc, si on pose \(f(x)=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\), \(f(x)\) existe si et seulement \(x\geq1\) et pour \(x\geq1\), \(f(x)=\sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|\). Par suite,

\[f(x)=1\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+|\sqrt{x-1}-1|=0\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=0\;\mbox{et}\;\sqrt{x-1}-1=0\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=0\;\mbox{et}\;\sqrt{x-1}=1,\] ce qui est impossible. L’équation proposée n’a pas de solution.

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