Pour $x\geq1$ , $x+2\sqrt{x-1}=x-1+2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}+1)^2\geq0$ . De même, $x-2\sqrt{x-1}=(\sqrt{x-1}-1)^2\geq0$ . Donc, si on pose $f(x)=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ , $f(x)$ existe si et seulement $x\geq1$ et pour $x\geq1$ , $f(x)=\sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|$ . Par suite,

$\begin{align*} f(x)=1 &\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+|\sqrt{x-1}-1|=0 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=0\;\mbox{et}\;\sqrt{x-1}-1=0 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=0\;\mbox{et}\;\sqrt{x-1}=1, \end{align*}$ ce qui est impossible. L’équation proposée n’a pas de solution.

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