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Soit $K$ un compact convexe de $\R^2$ d’intérieur non vide. Soit $O\in\mathring K$. Montrer qu’il existe une fonction $f : \R \to {\R^+}$ continue $2\pi$-périodique telle qu’en coordonnées polaires de centre $O$, $K$ est défini par $\rho\le f(\theta)$.

Soit $g : {[0,1]} \to \R$ continue telle que $\int_{x=0}^{\pi}g(x)\cos(x)\,d x = \int_{x=0}^{\pi}g(x)\sin(x)\,d x = 0$. Montrer que $g$ s’annule au moins deux fois sur $]0,\pi[$.

Soit $G$ le centre de gravité de $K$. Montrer que $G$ est le milieu d’au moins trois "diamètres" de $K$ (trois segments joignant deux points de la frontière).