1
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit \(O\in\mathring K\). Montrer qu’il existe une fonction \(f : \R \to {\R^+}\) continue \(2\pi\)-périodique telle qu’en coordonnées polaires de centre \(O\), \(K\) est défini par \(\rho\le f(\theta)\).
2
Soit \(g : {[0,1]} \to \R\) continue telle que \(\int_{x=0}^{\pi}g(x)\cos(x)\,d x = \int_{x=0}^{\pi}g(x)\sin(x)\,d x = 0\). Montrer que \(g\) s’annule au moins deux fois sur \(]0,\pi[\).
3
Soit \(G\) le centre de gravité de \(K\). Montrer que \(G\) est le milieu d’au moins trois "diamètres" de \(K\) (trois segments joignant deux points de la frontière).