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Pour quelles valeurs de $\alpha\geq0$, la fonction $f(x)=\cos x^\alpha$ est -elle uniformément continue ?

On suppose cette condition remplie et on définit $f_n$ par $f_n(x)=f(x+n)$. Montrer que l’on peut extraire de $(f_n)$ une suite convergeant uniformément sur tout compact de $\Rr^+$. Peut-on avoir convergence uniforme sur tout $\Rr^+$ ?