Montrons que \(A\) est ouvert. Soit \(x\in A\), alors \(\mathcal{H}(x) = \{f(x) \mid f\in \mathcal{H}\}\) est bornée, notons \(M\) une borne. Écrivons l’équicontinuité pour \(\epsilon = 1\), il existe \(\eta >0\) tel que \[\forall f \in \mathcal{H} \quad \forall y\in E \quad (\|x-y\| < \eta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < 1).\] Or si \(|f(x)-f(y)| < 1\) alors \(|f(y)| < |f(x)| + 1 \le M+1\). On a donc montré \[\forall f \in \mathcal{H} \quad \forall y\in E \quad (y\in B(x,\eta) \Rightarrow |f(y)| < M+1).\] Donc \(B(x,\eta) \subset A\). Donc \(A\) est ouvert. Montrons que \(A\) est fermé. Soit \((x_n)\) une suite d’éléments de \(A\) qui converge vers \(x\in E\). On reprend \(\epsilon = 1\) et on obtient un \(\eta\) par équicontinuité. Comme \(x_n\rightarrow x\) alors il existe \(N\) tel que \(\|x_N-x\| < \eta\). Donc pour tout \(f\) dans \(\mathcal{H}\), \(|f(x)-f(x_N)| < 1\) ; donc \(|f(x)| < |f(x_N)|+1\). Or \(x_N \in A\), il existe \(M\) tel \(|f(x_N)|\) soit bornée par \(M\) pour tout \(f\) dans \(\mathcal{H}\). Donc pour tout \(f\in \mathcal{H}\), \(|f(x)| < M+1\). Donc \(x\in A\). Donc \(A\) est fermé.

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