Montrons que $A$ est ouvert. Soit $x\in A$ , alors $\mathcal{H}(x) = \{f(x) \mid f\in \mathcal{H}\}$ est bornée, notons $M$ une borne. Écrivons l’équicontinuité pour $\epsilon = 1$ , il existe $\eta >0$ tel que $\forall f \in \mathcal{H} \quad \forall y\in E \quad (\|x-y\| < \eta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < 1).$ Or si $|f(x)-f(y)| < 1$ alors $|f(y)| < |f(x)| + 1 \le M+1$ . On a donc montré $\forall f \in \mathcal{H} \quad \forall y\in E \quad (y\in B(x,\eta) \Rightarrow |f(y)| < M+1).$ Donc $B(x,\eta) \subset A$ . Donc $A$ est ouvert. Montrons que $A$ est fermé. Soit $(x_n)$ une suite d’éléments de $A$ qui converge vers $x\in E$ . On reprend $\epsilon = 1$ et on obtient un $\eta$ par équicontinuité. Comme $x_n\rightarrow x$ alors il existe $N$ tel que $\|x_N-x\| < \eta$ . Donc pour tout $f$ dans $\mathcal{H}$ , $|f(x)-f(x_N)| < 1$ ; donc $|f(x)| < |f(x_N)|+1$ . Or $x_N \in A$ , il existe $M$ tel $|f(x_N)|$ soit bornée par $M$ pour tout $f$ dans $\mathcal{H}$ . Donc pour tout $f\in \mathcal{H}$ , $|f(x)| < M+1$ . Donc $x\in A$ . Donc $A$ est fermé.

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