Notons \(G\) l’ensemble des \(x\in E\), pour lesquels \((f_n(x))\) est une suite de Cauchy dans \(F\). Soit \((x_n)\) une suite d’éléments de \(G\) qui converge vers \(x \in E\). Il faut montrer \(x\in G\), c’est-à-dire que \((f_n(x))\) est une suite de Cauchy de \(F\). Écrivons pour \(p,q,n \in \Nn\), \[\| f_p(x)-f_q(x) \| \le \| f_p(x)-f_p(x_n) \| + \| f_p(x_n)-f_q(x_n) \|+\| f_q(x_n)-f_q(x) \|.\]

Soit \(\epsilon >0\), comme \((f_n)\) est équicontinue en \(x\), il existe \(\eta >0\) tel que \[\forall n\in \Nn \quad \forall y\in E \quad \| x-y\| < \eta \quad \Rightarrow \| f_n(x)-f_n(y)\| < \frac \epsilon 3.\] Comme \(x_n \rightarrow x\) il existe \(N \ge 0\) tel que \(\|x_N-x\| < \eta\). Donc \[\forall p,q \ge 0 \quad \| f_p(x_N)-f_p(x)\| < \frac \epsilon 3 \quad \text{ et }\quad \| f_q(x_N)-f_q(x)\| < \frac \epsilon 3.\] Enfin \(N\) étant fixé, \(x_N \in G\), la suite \((f_n(x_N))_n\) est une suite de Cauchy, donc il existe \(N'\ge N\) tel que pour \(p,q \ge N'\) on a, \[\| f_p(x_N)-f_q(x_N)\| < \frac \epsilon 3.\] Le bilan de toute ces inégalités est donc \[\forall p,q \ge N' \quad \| f_p(x)-f_q(x) \| <\epsilon.\] Donc \((f_n(x))_n\) est une suite de Cauchy, donc \(x\in G\) et \(G\) est fermé.

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