Notons $G$ l’ensemble des $x\in E$ , pour lesquels $(f_n(x))$ est une suite de Cauchy dans $F$ . Soit $(x_n)$ une suite d’éléments de $G$ qui converge vers $x \in E$ . Il faut montrer $x\in G$ , c’est-à-dire que $(f_n(x))$ est une suite de Cauchy de $F$ . Écrivons pour $p,q,n \in \Nn$ , $\| f_p(x)-f_q(x) \| \le \| f_p(x)-f_p(x_n) \| + \| f_p(x_n)-f_q(x_n) \|+\| f_q(x_n)-f_q(x) \|.$

Soit $\epsilon >0$ , comme $(f_n)$ est équicontinue en $x$ , il existe $\eta >0$ tel que $\forall n\in \Nn \quad \forall y\in E \quad \| x-y\| < \eta \quad \Rightarrow \| f_n(x)-f_n(y)\| < \frac \epsilon 3.$ Comme $x_n \rightarrow x$ il existe $N \ge 0$ tel que $\|x_N-x\| < \eta$ . Donc $\forall p,q \ge 0 \quad \| f_p(x_N)-f_p(x)\| < \frac \epsilon 3 \quad \text{ et }\quad \| f_q(x_N)-f_q(x)\| < \frac \epsilon 3.$ Enfin $N$ étant fixé, $x_N \in G$ , la suite $(f_n(x_N))_n$ est une suite de Cauchy, donc il existe $N'\ge N$ tel que pour $p,q \ge N'$ on a, $\| f_p(x_N)-f_q(x_N)\| < \frac \epsilon 3.$ Le bilan de toute ces inégalités est donc $\forall p,q \ge N' \quad \| f_p(x)-f_q(x) \| <\epsilon.$ Donc $(f_n(x))_n$ est une suite de Cauchy, donc $x\in G$ et $G$ est fermé.

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