On cherche à vérifier les hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass.

Tout d’abord $X\times Y$ est compact, car c’est un produit d’espaces compacts.
Ensuite $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{C}(X\times Y,\Rr)$ : en effet pour $f,g \in \mathcal{A}$ et $\lambda \in \Rr$ on a : $f+g \in \mathcal{A}, \quad \lambda\cdot f \in \mathcal{A}\quad \text{ et } f\times g \in \mathcal{A}.$
$\mathcal{A}$ sépare les points : soient $(x_1,y_1)\neq (x_2,y_2) \in X\times Y$ . Supposons que $x_1\neq x_2$ , soit $u \in \mathcal{C}(X,\Rr)$ tel que $u(x_1)\neq u(x_2)$ (clairement une telle fonction existe !), soit $v$ la fonction sur $Y$ constante égale à $1$ . Alors $f$ définie par $f(x,y) = u(x)\cdot v(y)$ est dans $\mathcal{A}$ et $f(x_1,y_1) = u(x_1)\neq u(x_2)=f(x_2,y_2)$ . Si $x_1=x_2$ alors nécessairement $y_1\neq y_2$ et on fait un raisonnement similaire.
Pour tout $(x,y)\in X\times Y$ il existe une fonction $f\in \mathcal{A}$ telle que $f(x)\neq 0$ : prendre la fonction $f$ constante égale à $1$ qui est bien dans $\mathcal{A}$ .

Par le théorème de Stone-Weierstrass $\mathcal{A}$ est dense dans $\mathcal{C}(X\times Y,\Rr)$ pour la norme uniforme.

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