L3 Topologie Théorème de Stone-Weirstrass, théorème d'Ascoli 4 questions

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Soit H={f∈C1(R) / ∫R∣f(x)∣2dx+∫R∣f′(x)∣2dx≤1}H=\{f\in C^1({\Rr})\ /\ \int_{\Rr}|f(x)|^2 dx + \int_{\Rr}|f'(x)|^2 dx \leq1\}.

1

Montrer que si f∈Hf\in H, lim⁡∣x∣→∞f(x)=0\lim_{|x|\to\infty} f(x)=0.

2

Montrer que ∣∣f∣∣∞≤12||f||_\infty\leq {1\over\sqrt2}, pout toute f∈Hf\in H.

3

Montrer que HH est une partie équicontinue et bornée de C0(R)C_0({\Rr}).

4

Soit φ(x)=(x2−1)2 1∣x∣≤1\varphi(x)=(x^2-1)^2\ {\bf 1}_{|x|\leq1}, et fn(x)=φ(x−n)f_n(x)=\varphi(x-n); montrer que λfn∈H\lambda f_n\in H pour une constante λ\lambda bien choisie et que cette suite n’a aucune valeur d’adhérence dans C(R)C(\Rr). Conclusion ?

Exercice bE4A

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