Soit \(H=\{f\in C^1({\Rr})\ /\ \int_{\Rr}|f(x)|^2 dx + \int_{\Rr}|f'(x)|^2 dx \leq1\}\).
1
Montrer que si \(f\in H\), \(\lim_{|x|\to\infty} f(x)=0\).
2
Montrer que \(||f||_\infty\leq {1\over\sqrt2}\), pout toute \(f\in H\).
3
Montrer que \(H\) est une partie équicontinue et bornée de \(C_0({\Rr})\).
4
Soit \(\varphi(x)=(x^2-1)^2\ {\bf 1}_{|x|\leq1}\), et \(f_n(x)=\varphi(x-n)\); montrer que \(\lambda f_n\in H\) pour une constante \(\lambda\) bien choisie et que cette suite n’a aucune valeur d’adhérence dans \(C(\Rr)\). Conclusion ?