Pour \(f\in {\cal F}\), par le théorème des accroissements finis, pour tout \(t_0,t\in [a,b]\) il existe \(c\in]t_0,t[\) tel que \(|f(t)-f(t_0)| = |f'(c)| |t-t_0|\). Donc \(|f(t)-f(t_0)| \le k |t-t_0|\). Fixons \(t_0\in[a,b]\). Soit \(\epsilon >0\), soit \(\eta = \frac \epsilon k\) alors \[\forall t\in[a,b] \qquad |t-t_0| \le \eta \quad \Rightarrow \quad |f(t)-f(t_0)| \le k |t-t_0| \le \epsilon.\] Ce qui est exactement l’équicontinuité de \(\mathcal{F}\) en \(t_0\). Comme nous pouvons prendre pour \(t_0\) n’importe quel point de \([a,b]\) alors \(\mathcal{F}\) est équicontinue. Notons \(\mathcal{H} = \{ f_n \mid n\in \Nn \}\). Pour \(x_0,x \in \Rr^n\), \(\|f_n(x)-f_n(x_0)\| \le L\|x-x_0\|\). Donc en posant \(\eta = \frac\epsilon L\) comme ci-dessus on prouve l’équicontinuité de \(\mathcal{H}\) en \(x_0\), puis partout. Notons \(\mathcal{H}(x) = \{ f_n(x) \mid n\in \Nn \}\). Alors par hypothèse, \(\mathcal{H}(0) \subset {\bar B} (0,\sqrt 2)\). Donc \({\bar {\cal H}}(0)\) est un fermé de \({\bar B}(0,\sqrt 2)\) qui est compact (nous somme dans \(\Rr^n\)), donc \(\bar {\cal H}(0)\) est aussi compact, d’où \(\mathcal{H}(0)\) relativement compact. Maintenant nous avons \(\| f_n(x)-f_n(0)\| \le L\|x-0\|\). Donc \(\|f_n(x)\| \le L \| x \| + \sqrt 2\). Donc pour \(x\) fixé, \(f_n(x)\in {\bar B}(0, L \| x \| +\sqrt 2)\) ce qui implique que \(\mathcal{H}(x)\) est relativement compact. Comme \(\Rr^n\) n’est pas compact on ne peut pas appliquer directement le théorème d’Ascoli. Soit \(B_R = \bar B(0,R)\) qui est un compact de \(\Rr^n\). Notons \(\mathcal{H}_R = \{ {f_n}_{|B_R} \mid n\in \Nn \}\) la restriction de \(\mathcal{H}\) à \(B_R\). Alors par le théorème d’Ascoli, \(\mathcal{H}_R\) est relativement compact. Donc de la suite \(({f_n}_{|B_R})_n\) on peut extraire une sous-suite convergente (sur \(B_R\)). Pour \(R=1\) nous extrayons de \((f_n)_n\) une sous-suite \((f_{\phi_1(n)})_n\) qui converge sur \(B_1\). Pour \(R=2\), nous extrayons de \((f_{\phi_1(n)})_n\) une sous-suite \((f_{\phi_2(n)})_n\) qui converge sur \(B_2\). Puis par récurrence pour \(R=N\), nous extrayons de \((f_{\phi_{N-1}(n)})_n\) une sous-suite \((f_{\phi_N(n)})_n\) qui converge sur \(B_N\). Alors la suite \((f_{\phi_n(n)})_n\) converge sur \(\Rr^n\). C’est le procédé diagonal de Cantor. En effet soit \(x\in \Rr^n\) et soit \(N \ge \|x\|\). Alors \(x \in B_N\) donc \((f_{\phi_N(n)}(x))_n\) converge vers \(f(x)\), mais \((f_{\phi_n(n)})_{n\ge N}\) est extraite de \((f_{\phi_N(n)})_n\) donc \((f_{\phi_n(n)}(x))_{n}\) converge également vers \(f(x)\). Nous venons de montrer que \((f_{\phi_n(n)})_n\) converge simplement vers \(f\) sur tout \(\Rr^n\).

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