Pour $f\in {\cal F}$ , par le théorème des accroissements finis, pour tout $t_0,t\in [a,b]$ il existe $c\in]t_0,t[$ tel que $|f(t)-f(t_0)| = |f'(c)| |t-t_0|$ . Donc $|f(t)-f(t_0)| \le k |t-t_0|$ . Fixons ${\cal F}$ . Soit $\epsilon >0$ , soit $\eta = \frac \epsilon k$ alors $\forall t\in[a,b] \qquad |t-t_0| \le \eta \quad \Rightarrow \quad |f(t)-f(t_0)| \le k |t-t_0| \le \epsilon.$ Ce qui est exactement l’équicontinuité de $\mathcal{F}$ en $t_0$ . Comme nous pouvons prendre pour $t_0$ n’importe quel point de $[a,b]$ alors $\mathcal{F}$ est équicontinue. Notons $\mathcal{H} = \{ f_n \mid n\in \Nn \}$ . Pour $x_0,x \in \Rr^n$ , $\|f_n(x)-f_n(x_0)\| \le L\|x-x_0\|$ . Donc en posant $\eta = \frac\epsilon L$ comme ci-dessus on prouve l’équicontinuité de $\mathcal{H}$ en $x_0$ , puis partout. Notons $\mathcal{H}(x) = \{ f_n(x) \mid n\in \Nn \}$ . Alors par hypothèse, $\mathcal{H}(0) \subset {\bar B} (0,\sqrt 2)$ . Donc ${\bar {\cal H}}(0)$ est un fermé de ${\bar B}(0,\sqrt 2)$ qui est compact (nous somme dans $\Rr^n$ ), donc $\bar {\cal H}(0)$ est aussi compact, d’où $\mathcal{H}(0)$ relativement compact. Maintenant nous avons $\| f_n(x)-f_n(0)\| \le L\|x-0\|$ . Donc $\|f_n(x)\| \le L \| x \| + \sqrt 2$ . Donc pour $x$ fixé, $f_n(x)\in {\bar B}(0, L \| x \| +\sqrt 2)$ ce qui implique que $\mathcal{H}(x)$ est relativement compact. Comme $\Rr^n$ n’est pas compact on ne peut pas appliquer directement le théorème d’Ascoli. Soit $B_R = \bar B(0,R)$ qui est un compact de $\Rr^n$ . Notons $\mathcal{H}_R = \{ {f_n}_{|B_R} \mid n\in \Nn \}$ la restriction de $\mathcal{H}$ à $B_R$ . Alors par le théorème d’Ascoli, $\mathcal{H}_R$ est relativement compact. Donc de la suite $({f_n}_{|B_R})_n$ on peut extraire une sous-suite convergente (sur $B_R$ ). Pour $R=1$ nous extrayons de $(f_n)_n$ une sous-suite $(f_{\phi_1(n)})_n$ qui converge sur $B_1$ . Pour $R=2$ , nous extrayons de $(f_{\phi_1(n)})_n$ une sous-suite $(f_{\phi_2(n)})_n$ qui converge sur $B_2$ . Puis par récurrence pour $R=N$ , nous extrayons de $(f_{\phi_{N-1}(n)})_n$ une sous-suite $(f_{\phi_N(n)})_n$ qui converge sur $B_N$ . Alors la suite $(f_{\phi_n(n)})_n$ converge sur $\Rr^n$ . C’est le procédé diagonal de Cantor. En effet soit $x\in \Rr^n$ et soit $N \ge \|x\|$ . Alors $x \in B_N$ donc $(f_{\phi_N(n)}(x))_n$ converge vers $f(x)$ , mais $(f_{\phi_n(n)})_{n\ge N}$ est extraite de $(f_{\phi_N(n)})_n$ donc $(f_{\phi_n(n)}(x))_{n}$ converge également vers $f(x)$ . Nous venons de montrer que $(f_{\phi_n(n)})_n$ converge simplement vers $f$ sur tout $\Rr^n$ .

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