Soit \(P(x) = a_dx^d+\cdots+a_1x+a_0 \in \Rr[x]\) alors par linéarité de l’intégrale et grâce à la relation de l’énoncé : \[\int_a^b f(t)\cdot P(t) \, dt = 0.\]

La fonction \(f\) est continue sur le compact \([a,b]\) donc par le théorème de Weierstrass il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers \(f\). Fixons \(\epsilon >0\). Soit \(P\) tel que \(\| f-P \|_\infty \le \epsilon\). Alors \[\begin{align*} |\int_a^b f(t)^2 dt| &= \left| \int_a^b f(t)^2 dt - \int_a^b f(t) \cdot P(t) dt\right| \\ &= \left|\int_a^b f(t)\cdot (f(t)-P(t)) dt\right| \\ &\le \int_a^b |f(t)|\cdot \| f-P\|_\infty dt \\ &\le \epsilon \int_a^b |f| \\. \end{align*}\] Mais \(C = \int_a^b |f|\) est une constante (indépendante de \(\epsilon\) et \(P\)). Donc on vient de montrer que \(|\int_a^b f(t)^2 dt| \le \epsilon C\) avec pour tout \(\epsilon >0\) donc \(\int_a^b f^2 = 0\), or \(f^2\) est une fonction continue et positive, son intégrale est nulle donc \(f\) est la fonction nulle.

exo7 2408