Soit \(K: {\cal C} ([a,b]) \to {\cal C} ([a,b])\) donné par \((Kf)(s)=\int _a^b k(s,t) f(t) \, dt\), \(k \in {\cal C} ([a,b]\times [a,b])\), et soit \((f_n)\) une suite bornée de \(X= ({\cal C} ([a,b]), \|.\|_\infty )\).
1
Rappeler pourquoi \(k\) est uniformément continue.
2
En déduire l’équicontinuité de \((Kf_n)\).
3
Montrer que \((Kf_n)\) contient une sous-suite convergente dans \(X\).