Soit \(\Phi : E \to \Rr^n\) définie par \(\Phi = (f_1,\ldots, f_n)\) alors \(\Phi\) est continue car les \(f_i\) sont continues. \(\Phi\) est injective : en effet si \(x\neq y\) alors comme \(\{f_i\}\) sépare les points on a \(\Phi(x)\neq \Phi(y)\), par contraposition \(\Phi\) est injective. Notons \(F = \Phi(E)\) l’image directe de \(E\). Alors \(\Phi : E \to F\) est continue et bijective. Comme \(E\) est compact alors \(\Phi\) est un homéomorphisme. Donc \(E\) est homéomorphe à \(F\) qui est une partie de \(\Rr^n\).

Rappel : Si \(\Phi : E \to F\) est continue et bijective et \(E\) est un espace compact alors \(\Phi\) est un homéomorphisme.

La preuve est simple : soit \(K\) un ensemble fermé de \(E\), comme \(E\) est compact alors \(K\) l’est aussi. Comme \(\Phi\) est continue alors \(\Phi(K)\) est un compact de \(F\) donc un fermé. Mais en écrivant ceci à l’aide de l’application \(\Phi^{-1}\) nous venons de montrer que pour tout fermé \(K\) de \(E\), l’image réciproque de \(K\) par \(\Phi^{-1}\) (qui est \((\Phi^{-1})^{-1}(K)=\Phi(K)\)) est un fermé. Donc \(\Phi^{-1}\) est continue. Donc \(\Phi\) est un homéomorphisme.

exo7 2410