Soit $\Phi : E \to \Rr^n$ définie par $\Phi = (f_1,\ldots, f_n)$ alors $\Phi$ est continue car les $f_i$ sont continues. $\Phi$ est injective : en effet si $x\neq y$ alors comme $\{f_i\}$ sépare les points on a $\Phi(x)\neq \Phi(y)$ , par contraposition $\Phi$ est injective. Notons $F = \Phi(E)$ l’image directe de $E$ . Alors $\Phi : E \to F$ est continue et bijective. Comme $E$ est compact alors $\Phi$ est un homéomorphisme. Donc $E$ est homéomorphe à $F$ qui est une partie de $\Rr^n$ .

Rappel : Si $\Phi : E \to F$ est continue et bijective et $E$ est un espace compact alors $\Phi$ est un homéomorphisme.

La preuve est simple : soit $K$ un ensemble fermé de $E$ , comme $E$ est compact alors $K$ l’est aussi. Comme $\Phi$ est continue alors $\Phi(K)$ est un compact de $F$ donc un fermé. Mais en écrivant ceci à l’aide de l’application $\Phi^{-1}$ nous venons de montrer que pour tout fermé $K$ de $E$ , l’image réciproque de $K$ par $\Phi^{-1}$ (qui est $(\Phi^{-1})^{-1}(K)=\Phi(K)$ ) est un fermé. Donc $\Phi^{-1}$ est continue. Donc $\Phi$ est un homéomorphisme.

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