Soit \(X=[0,1]\), \(Y=[-1,1]\), \(f_n(x)={1\over n}\sin(n^2x)\); on note \(A\) le sous-ensemble de \(C(X,Y)\) constitué des \((f_n)\), \(n\geq1\).
1
Montrer sans calculs que \(A\) est équicontinu.
2
Montrer que l’on a plus précisément \(|f_n(x)-f_n(y)|\leq\sqrt2|x-y|^{1\over2}\) pour tous n, x, y. En déduire que le module d’équicontinuité de \(A\) est \(\geq \varepsilon^2/2\).