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Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le polygone \(P' = A'_1A'_2\dots A'_{n-1}A'_n\) où \(A'_i\) est le milieu de \(A_i\) et \(A_{i+1}\) (\(A_{n+1} = A_1\)).
On définit alors une suite de polygones par récurrence : \(\begin{cases} P_0 = P\cr P_{k+1} = (P_k)'.\cr \end{cases}\)
Montrer que chaque sommet de \(P_k\) converge vers le centre de gravité de \(P_0\) lorsque \(k\) tend vers l’infini.
(Écrire un sommet de \(P_k\) comme barycentre de \(A_1,\dots,A_n\))