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Soit $P = A_1A_2\dots A_n$ un polygone à $n$ sommets : on lui associe le polygone $P' = A'_1A'_2\dots A'_{n-1}A'_n$ où $A'_i$ est le milieu de $A_i$ et $A_{i+1}$ ($A_{n+1} = A_1$).

On définit alors une suite de polygones par récurrence : $\begin{cases} P_0 = P\cr P_{k+1} = (P_k)'.\cr \end{cases}$

Montrer que chaque sommet de $P_k$ converge vers le centre de gravité de $P_0$ lorsque $k$ tend vers l’infini.

(Écrire un sommet de $P_k$ comme barycentre de $A_1,\dots,A_n$)