On se ramène autant que possible à des sommes usuelles. Ainsi : \[\begin{align*} \sum_{i=1}^{3n} 2^i &= \sum_{i=0}^{3n} 2^i - 1\\ &= \frac{1-2^{3n+1}}{1-2}-1 = 2^{3n+1}-2\\ \sum_{j=1}^{n} \sqrt{3^j} &= \sum_{j=1}^n \left(\sqrt{3}\right)^j \\ &= \sum_{j=0}^n \left(\sqrt{3}\right)^j -1 \\ &= \frac{1-\left(\sqrt{3}\right)^{n+1}}{1-\sqrt{3}}-1 \end{align*}\] \[\begin{align*} \sum_{j=0}^n \frac{3^j - 3\times 5^j}{2^{2j}} &= \sum_{j=0}^n \frac{3^j}{2^{2j}} - 3\frac{5^j}{2^{2j}} \\ &= \sum_{j=0}^n \left(\frac{3}{4}\right)^j - 3\sum_{j=0}^n \left(\frac{5}{4}\right)^j \\ &= \frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\frac{3}{4}} - 3 \frac{1-\left(\frac54\right)^{n+1}}{1-\frac{5}{4}} \\ &= 4\left(1-\left(\frac34\right)^{n+1}\right) + 12\left(1-\left(\frac54\right)^{n+1}\right) \end{align*}\] \[\begin{align*} \sum_{j=1}^n nj &= n \sum_{j=1}^n j \\ &= n\frac{n(n+1)}{2}= \frac{n^2(n+1)}{2} \end{align*}\] On peut ré-écrire les sommes pour simplifier : \[\begin{align*} \sum_{k=2}^{n} \ln\left(\frac{1}{k}\right) &= \sum_{k=2}^n -\ln(k) \\ &= -\sum_{k=2}^n \ln(k) \\ &= - \ln\left(\prod_{k=2}^n k \right) = -\ln(n!) \end{align*}\] Dans les autres cas, on essaie de se ramener à une somme télescopique : \[\begin{align*} \boxed{\sum_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{j}+\sqrt{j+1}}} &= \sum_{j=1}^n \frac{\sqrt{j}-\sqrt{j+1}}{\left(\sqrt{j}+\sqrt{j+1}\right)\left(\sqrt{j}-\sqrt{j+1}\right)} \\ &= \sum_{j=1}^n \frac{\sqrt{j}-\sqrt{j+1}}{j-(j+1)} = \sum_{j=1}^n \frac{\sqrt{j}-\sqrt{j+1}}{-1} \\ &= \sum_{j=1}^n \sqrt{j+1}-\sqrt{j} = \sqrt{n+1}-\sqrt{1}=\boxed{\sqrt{n+1}-1} \end{align*}\] et \[\begin{align*} \boxed{\sum_{a=2}^n \ln \left(1-\frac{1}{a}\right)} &= \sum_{a=2}^n \ln \left( \frac{a-1}{a}\right) \\ &= \sum_{a=2}^n \ln(a-1) - \ln(a) = \ln(1)-\ln(n)=\boxed{-\ln(n)} \end{align*}\]

Des calculs