1
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : \(\zeta(1+x)-\frac1x = \sum_{n=1}^\infty\Bigl( \frac1{n^{1+x}} - \frac1x\bigl(\frac1{n^x}-\frac1{(n+1)^x}\bigr)\Bigr)\).
2
Pour \(p\in\N\) on pose \(\gamma_p = \lim_{k\to\infty}\Bigl(\frac{\ln^p(1)}1 + \dots + \frac{\ln^p(k)}k - \frac{\ln^{p+1}(k+1)}{p+1}\Bigr)\). Justifier l’existence de \(\gamma_p\) et montrer que \(|\gamma_p| \le (p/e)^p\).
3
Montrer alors que pour \(x\in{]0,1[}\) on a : \(\zeta(1+x)-\frac1x = \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p\gamma_p}{p!}x^p\).