\(\overrightarrow{u}\in\overrightarrow{P_1}\cap\overrightarrow{P_2}\cap\overrightarrow{P_3}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} z-2y=0\\ 2x-3z=0\\ 3y-x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=3y\\ z=2y \end{array} \right.\). Ainsi, les plans \((P_1)\), \((P_2)\) et \((P_3)\) sont tous trois parallèles à la droite affine \((D)\) d’équations \(\left\{ \begin{array}{l} x=3y\\ z=2y \end{array} \right.\). Ces plans définissent donc un prisme. Déterminons alors l’aire d’une section droite. Le plan \((P)\) d’équation \(3x+y+2z=0\) est perpendiculaire à la droite \((D)\). Son intersection avec les plans \((P_1)\), \((P_2)\) et \((P_3)\) définit donc une section droite du prisme. Soit \(M(x,y,z)\) un point de l’espace.

\(M\in(P_1)\cap(P_2)\cap(P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z-2y=5\\ 2x-3z=0\\ 3x+y+2z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{z-5}{2}\\ x=\frac{3}{2}z\\ \frac{9}{2}z+\frac{z-5}{2}+2z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} z=\frac{5}{14}\\ y=-\frac{65}{28}\rule[-4mm]{0mm}{11mm}\\ x=\frac{15}{28} \end{array} \right.\)

Notons \(A\left(\frac{15}{28},-\frac{65}{28},\frac{5}{14}\right)\). Soit \(M(x,y,z)\) un point de l’espace.

\(M\in(P_1)\cap(P_3)\cap(P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z-2y=5\\ 3y-x=0\\ 3x+y+2z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} z=2y+5\\ x=3y\\ 9y+y+2(2y+5)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-\frac{5}{7}\\ x=-\frac{15}{7}\rule[-4mm]{0mm}{11mm}\\ z=\frac{25}{7} \end{array} \right.\)

Notons \(B\left(-\frac{15}{7},-\frac{5}{7},\frac{25}{7}\right)\).

Soit \(M(x,y,z)\) un point de l’espace.

\(M\in(P_2)\cap(P_3)\cap(P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-3z=0\\ 3y-x=0\\ 3x+y+2z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=z=0\)

Une section droite est \(OAB\) où \(A\left(\frac{15}{28},-\frac{65}{28},\frac{5}{14}\right)\) et \(B\left(-\frac{15}{7},-\frac{5}{7},\frac{25}{7}\right)\). De plus

\[\begin{align*}\ensuremath \text{aire de}(OAB)&=\frac{1}{2}\left\|\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\right\|=\frac{1}{2}\times\frac{5}{28}\times\frac{5}{7}\left\|\left( \begin{array}{c} 3\\ -13\\ 2 \end{array}\right) \wedge \left( \begin{array}{c} -3\\ -1\\ 5 \end{array}\right)\right\|=\frac{1}{2}\times\frac{5}{28}\times\frac{5}{7}\sqrt{63^2+21^2+42^2}\\ &=\frac{1}{2}\times\frac{5}{28}\times\frac{5}{7}\times21\sqrt{3^2+1^2+2^2}=\frac{75}{4\sqrt{14}} \end{align*}\]

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