On donne deux cercles \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) de rayons distincts, de centres \(O\) et \(O'\), tangents extérieurement en un point \(A\). On admet qu’il existe trois tangentes communes à \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) : la tangente commune en \(A\), qui est directement constructible, et deux autres droites. L’objectif de l’exercice est de tracer ces deux dernières tangentes.
Considérons donc une droite tangente à \(\mathcal C\) en \(B\) et à \(\mathcal C'\) en \(C\), avec \(B\neq C\). La tangente commune en \(A\) aux deux cercles coupe \((BC)\) en \(I\). Montrer que \(I\) est le milieu de \([BC]\) et que \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Finir l’exercice (c’est-à-dire construire \(B\) et \(C\)) de l’une des deux façons suivantes:
Soit \(D\) tel que \(ABDC\) soit un rectangle. Quels sont les points d’intersection entre \((DB)\), \((DC)\) et \((OO')\) ? En déduire une construction du point \(D\).
Montrer que \(OIO'\) est rectangle en \(I\) et en déduire une construction du point \(I\).