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Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on pose: $u_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k^2}{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}$ et $v_n = \ln u_n$ .

Montrer que $v_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1 + \frac{k^2}{n^2}\right)$ .

Exprimer la limite de $v_n$ (quand $n \to +\infty$ ) sous la forme d’une intégrale définie et calculer cette intégrale. On pourra utiliser une intégration par parties.