Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose: \(u_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k^2}{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}\) et \(v_n = \ln u_n\).
1
Montrer que \(v_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1 + \frac{k^2}{n^2}\right)\).
2
Exprimer la limite de \(v_n\) (quand \(n \to +\infty\)) sous la forme d’une intégrale définie et calculer cette intégrale. On pourra utiliser une intégration par parties.
3
En déduire \(\lim_{n \to +\infty} u_n\).