Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument convergente. Pour \(n\in\mathbb{N}\), on pose : \[\begin{aligned} u_{n} = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t} \, dt.\end{aligned}\] Montrer que pour \(n\geq 0\), \(\frac{2}{(n+1)\pi} \leq u_{n}\). En déduire que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\, dt\) est divergente.
Deuxième formule de la moyenne. Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions Riemann-intégrables sur \([a, b]\), admettant des primitives notées \(F\) et \(G\) respectivement. Supposons que \(F\) est positive et décroissante. Montrer qu’il existe \(y\in [a,b]\) tel que : \[\begin{equation} \int_{a}^{b}F(x)g(x)\,dx = F(a)\int_{a}^{y}g(x)\,dx. \end{equation}\]
En déduire que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) est convergente.
Le but de cette question est de calculer la valeur de cette intégrale. Pour tout nombre réel \(\lambda\geq 0\), on pose : \[\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} f(t, \lambda) &=& e^{-\lambda t}\,\frac{\sin t}{t}\quad\quad \text{pour}\quad t> 0\\ f(0, \lambda) &=& 1. \end{array}\right. \end{equation}\]
Pour \(0< x \leq y\), démontrer que l’on a : \[\begin{equation} \left|\int_{x}^{y} f(t, \lambda)\, dt\right| \leq \frac{2}{x} e^{-\lambda x}. \end{equation}\]
En déduire que les intégrales généralisées \(\,\int_{0}^{+\infty} f(t, \lambda)\, dt\,\) sont convergentes, uniformément pour \(\lambda\geq0\). On pose, pour \(\lambda \geq 0\), \[\begin{equation} F(\lambda) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}\,\frac{\sin t}{t}\,dt. \end{equation}\] Démontrer que la fonction \(F\) est continue pour \(\lambda \geq 0\).
Démontrer que la fonction \(F\) est dérivable pour \(\lambda > 0\) et que sa dérivée est égale à l’intégrale généralisée convergente \[\begin{equation} F'(\lambda) = - \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}\sin t \,dt. \end{equation}\]
Calculer cette dernière intégrale généralisée, par exemple en intégrant par parties sur \([0, x]\) et en calculant la limite quand \(x\rightarrow +\infty\).
En déduire la valeur de \(F(\lambda)\) pour \(\lambda\geq0\) à une constante additive près. Démontrer que \(F(\lambda)\rightarrow 0\) quand \(\lambda \rightarrow +\infty\). En déduire la valeur de la constante additive, puis la valeur de l’intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\).