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Le but de cette question est de montrer que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt$ n’est pas absolument convergente. Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose : $$\begin{aligned} u_{n} = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t} \, dt. \end{aligned}$$ Montrer que pour $n\geq 0$, $\frac{2}{(n+1)\pi} \leq u_{n}$. En déduire que $\int_{0}^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\, dt$ est divergente.

Deuxième formule de la moyenne. Soient $f$ et $g$ deux fonctions Riemann-intégrables sur $[a, b]$, admettant des primitives notées $F$ et $G$ respectivement. Supposons que $F$ est positive et décroissante. Montrer qu’il existe $y\in [a,b]$ tel que : $$\begin{equation} \int_{a}^{b}F(x)g(x)\,dx = F(a)\int_{a}^{y}g(x)\,dx. \end{equation}$$

En déduire que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt$ est convergente.

Le but de cette question est de calculer la valeur de cette intégrale. Pour tout nombre réel $\lambda\geq 0$, on pose : $$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} f(t, \lambda) &=& e^{-\lambda t}\,\frac{\sin t}{t}\quad\quad \text{pour}\quad t> 0\\ f(0, \lambda) &=& 1. \end{array}\right. \end{equation}$$

Pour $0< x \leq y$, démontrer que l’on a : $$\begin{equation} \left|\int_{x}^{y} f(t, \lambda)\, dt\right| \leq \frac{2}{x} e^{-\lambda x}. \end{equation}$$

En déduire que les intégrales généralisées $\,\int_{0}^{+\infty} f(t, \lambda)\, dt\,$ sont convergentes, uniformément pour $\lambda\geq0$. On pose, pour $\lambda \geq 0$, $$\begin{equation} F(\lambda) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}\,\frac{\sin t}{t}\,dt. \end{equation}$$ Démontrer que la fonction $F$ est continue pour $\lambda \geq 0$.

Démontrer que la fonction $F$ est dérivable pour $\lambda > 0$ et que sa dérivée est égale à l’intégrale généralisée convergente $$\begin{equation} F'(\lambda) = - \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}\sin t \,dt. \end{equation}$$

Calculer cette dernière intégrale généralisée, par exemple en intégrant par parties sur $[0, x]$ et en calculant la limite quand $x\rightarrow +\infty$.

En déduire la valeur de $F(\lambda)$ pour $\lambda\geq0$ à une constante additive près. Démontrer que $F(\lambda)\rightarrow 0$ quand $\lambda \rightarrow +\infty$. En déduire la valeur de la constante additive, puis la valeur de l’intégrale $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt$.