Raisonnons par analyse et synthèse.

Analyse

Soit $f:\R \to \R$ vérifiant, pour tous $x$ et $y$ , $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Pour $x=y=0$ , on obtient $f(0)=f(0)+f(0)$ ,donc $f(0)=0$ .

Fixons $y\in \R$ , et dérivons par rapport à $x$ ( $f$ est dérivable). On obtient alors, pour tout $x\in \R$ $f'(x+y)=f'(x)$ En prenant $x=0$ , cela donne $f'(y)=f'(0)$ . Ceci étant valable pour tout $y\in \R$ , on en déduit que $f'$ est une fonction constante. On écrit alors $f':x\mapsto a$ , avec $a\in \R$ , ce qui donne, en prenant une primitive : $f:x\mapsto ax+b$ avec $a$ et $b$ deux réels. Mais puisque $f(0)=0$ , on en déduit que $b=0$ .

On a bien réduit l’étendue des possibilités; on passe à la synthèse.

Synthèse

Soient $a\in \R$ , et $f:x\mapsto ax$ . On remarque alors : $\begin{align*} \forall(x,y)\in \R^2,\,f(x+y) &= a(x+y) \\ &= ax+ay = f(x)+f(y) \end{align*}$ Ainsi, la $f$ vérifie bien l’équation fonctionnelle.

Bilan : l’ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ , vérifiant pour tous réels $x$ et $y$ , $f(x+y)=f(x)+f(y)$ est $\left \{ x\mapsto ax,\, a \in \R \right \}$

Analyse et synthèse