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Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ , telle que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(xy)=f(x)f(y)$ pour tous $x,y\in \R$ . On va montrer que $f$ est soit nulle, soit la fonction identité.

Remarquer que $f(x)\geq0$ si $x\geq0$ et ainsi, que $f$ est croissante.

Montrer que pour tout $x$ réel on peut construire une suite $(r_k)$ et une suite $(s_k)$ de rationnels telles que $r_k\uparrow x$ et $s_k\downarrow x$ . En déduire le résultat.