Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\), telle que \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) et \(f(xy)=f(x)f(y)\) pour tous \(x,y\in \R\). On va montrer que \(f\) est soit nulle, soit la fonction identité.
1
Remarquer que \(f(x)\geq0\) si \(x\geq0\) et ainsi, que \(f\) est croissante.
2
Montrer que pour tout \(x\) réel on peut construire une suite \((r_k)\) et une suite \((s_k)\) de rationnels telles que \(r_k\uparrow x\) et \(s_k\downarrow x\). En déduire le résultat.