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Soit \(d_1\) et \(d_2\) deux distances sur un espace \(X\). On considère les quatre assertions suivantes :
(i) Les métriques sont topologiquement équivalentes.
(ii) Les métriques sont uniformément équivalentes.
(iii) Les métriques sont Lipschitz-équivalentes (il existe \(A\) et \(B\) constantes telles que \(A\, d_1\leq d_2\leq B\, d_1\)).
(iv) \((X,d_1)\) et \((X,d_2)\) sont simultanément complets.
Etablir les implications entre ces propriétés et donner des contre-exemples lorsque les implications n’ont pas lieu.