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Soit $d_1$ et $d_2$ deux distances sur un espace $X$. On considère les quatre assertions suivantes :

(i) Les métriques sont topologiquement équivalentes.

(ii) Les métriques sont uniformément équivalentes.

(iii) Les métriques sont Lipschitz-équivalentes (il existe $A$ et $B$ constantes telles que $A\, d_1\leq d_2\leq B\, d_1$).

(iv) $(X,d_1)$ et $(X,d_2)$ sont simultanément complets.

Etablir les implications entre ces propriétés et donner des contre-exemples lorsque les implications n’ont pas lieu.