Si $ABC$ est rectangle, l’orthocentre coïncide avec un des sommets et la vérification de l’assertion est relativement facile. Dans la suite on suppose qu’on n’est pas dans ce cas.

Par définition, $H'$ est le symétrique de $H$ par rapport à $(AC)$ si $(AC)$ est la médiatrice de $[HH']$ . C’est cela qu’on doit montrer.

D’autre part, par définition, on a $(AC) \bot (HH')$ , donc $(AC)$ est la hauteur de $AHH'$ issue de $A$ .

Donc si $AHH'$ est isocèle en $A$ , alors cette hauteur de $AHH'$ est aussi la médiane issue de $A$ et c’est encore la médiatrice du côté opposé à $A$ c’est-à-dire $[HH']$ .

Il suffit donc de montrer que $AHH'$ est isocèle en $A$ . Pour cela, il suffit de montrer que les angles adjacents à la base sont égaux, autrement dit $\widehat{AHH'} = \widehat{AH'H}$ avec des angles géométriques non orientés, ou plus précisément avec des angles orientés $(H'A,H'H)=(HH',AH)$ .

Suivant la méthodologie habituelle, on marque de façon systématique les angles égaux (ou complémentaires, supplémentaires etc) sur la figure. Ceci indique la marche à suivre pour la preuve.

Montrons que $(H'A,H'H)=(HH',AH)$ . On a : $\begin{align*} (H'A,H'H) &= (H'A,H'B) \text{ (car $(H'H)=(HB)$}\\ &= (CA,CB) \text{ (car $ABCH'$ est inscriptible)}\\ &= (CA,AH)+(AH,CB) \text{ (par Chasles)}\\ &= (CA,AH)+\pi/2 \text{ (car $(AH)$ est une hauteur de $ABC$)}\\ &= (CA,AH)+(HH',CA)\\ &= (HH',AH) \text{ (par Chasles)} \end{align*}$

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