Si \(ABC\) est rectangle, l’orthocentre coïncide avec un des sommets et la vérification de l’assertion est relativement facile. Dans la suite on suppose qu’on n’est pas dans ce cas.

Par définition, \(H'\) est le symétrique de \(H\) par rapport à \((AC)\) si \((AC)\) est la médiatrice de \([HH']\). C’est cela qu’on doit montrer.

D’autre part, par définition, on a \((AC) \bot (HH')\), donc \((AC)\) est la hauteur de \(AHH'\) issue de \(A\).

Donc si \(AHH'\) est isocèle en \(A\), alors cette hauteur de \(AHH'\) est aussi la médiane issue de \(A\) et c’est encore la médiatrice du côté opposé à \(A\) c’est-à-dire \([HH']\).

Il suffit donc de montrer que \(AHH'\) est isocèle en \(A\). Pour cela, il suffit de montrer que les angles adjacents à la base sont égaux, autrement dit \(\widehat{AHH'} = \widehat{AH'H}\) avec des angles géométriques non orientés, ou plus précisément avec des angles orientés \((H'A,H'H)=(HH',AH)\).

Suivant la méthodologie habituelle, on marque de façon systématique les angles égaux (ou complémentaires, supplémentaires etc) sur la figure. Ceci indique la marche à suivre pour la preuve.

Montrons que \((H'A,H'H)=(HH',AH)\). On a : \[\begin{align*} (H'A,H'H) &= (H'A,H'B) \text{ (car $(H'H)=(HB)$}\\ &= (CA,CB) \text{ (car $ABCH'$ est inscriptible)}\\ &= (CA,AH)+(AH,CB) \text{ (par Chasles)}\\ &= (CA,AH)+\pi/2 \text{ (car $(AH)$ est une hauteur de $ABC$)}\\ &= (CA,AH)+(HH',CA)\\ &= (HH',AH) \text{ (par Chasles)} \end{align*}\]

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