On considère les suites \(u\) et \(v\) définies par \(u_0=1\), \(v_0=12\) et pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}~~~~\textrm{ et }~~~~v_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}{4}\]
Soit \((w_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(w_n=v_n-u_n\).
Démontrer que la suite \((w_n)\) est géométrique. On précisera la raison et le premier terme.
Déterminer l’expression de \(w_n\) en fonction de \(n\).
En déduire que pour tout entier \(n\), \(w_n>0\)
Déterminer la limite de la suite \((w_n)\).
Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante, et que la suite \((v_n)\) est décroissante.
En déduire que les suites \((u_n)\) est \((v_n)\) sont adjacentes, et qu’elles ont la même limite que l’on notera \(\ell\) dans la suite du problème.
Soit \(t\) la suite définie pour tout entier naturel par \(t_n=3u_n+8v_n\).
Montrer que la suite \((t_n)\) est constante.
Déterminer alors la valeur de \(\ell\).