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Soit ${f_1,\dots,f_n} : I \to \R$ des fonctions continues de carrés intégrables sur l’intervalle $I$. On pose $a_{i,j} = \int_I f_if_j$. Montrer que la matrice $(a_{i,j})$ est définie positive ssi la famille $(f_1,\dots,f_n)$ est libre.

En déduire que si $\lambda_1$,…,$\lambda_n$ sont des réels strictement positifs distincts alors la matrice de terme général $1/(\lambda_i+\lambda_j)$ est définie positive.